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1. 绘制函数 $y=f(x)=x^3-\frac{1}{x}$ 和其在$x=1$处切线的图像。
答：
a. 寻找切点，$x=1$时，$y=1-1=0$，切点为$(1, 0)$
b. 寻找切线斜率，
b-1. 求导数： $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + x^{-2}$
b-2. 切点带入求斜率：$x=1$时，上式为4。故斜率为4。
c. 计算过指定切点、指定斜率的直线
$y-0 = 4(x-1)$，即$y=4x-4$
2. 求函数$ f(x)=3x_1^2 +5e^{x_2}$的梯度。
答：
a. 梯度的定义。连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，得到该函数的梯度向量。
b. 分别求$f(x)$对$x_1$，$x_2$的偏导：
b-1. $f(x)$对$x_1$的偏导：
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_1} = 3\times 2 \times x_1^{(2-1)} = 6 x_1
$$
b-2. $f(x)$对$x_2$的偏导：
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_2} = 5\times e^{x_2}; \frac{de^x}{dx} = e^x
$$
c. $f(x)$的梯度为：
$$
\bigtriangledown f(x) = \begin{vmatrix}
6 x_1 \\
5e^{x_2}
\end{vmatrix}
$$
3. 函数$f(x)=||x||_2$的梯度是什么？
答：
a. 梯度的定义。连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，得到该函数的梯度向量。
b. L2范数的定义。
$$
||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = f(x)
$$
c. 对$f(x)$内的$x_i$求偏导
c-0. 令，
$$
g(x) = \sum_{i=1}^n x_i^2， p(x) = \sqrt{x}
$$
则，
$$
f(x) = p(g(x))，\frac{\partial{f(x)}}{\partial x_i} = \frac{\partial{p(g(x))}}{\partial x_i} = \frac{\partial{p(g(x))}}{\partial g(x)} \times \frac{\partial{g(x)}}{\partial x_i}
$$
c-1. 计算：
$$
\frac{\partial{p(g(x))}}{\partial g(x)} = \frac{1}{2}\times g(x)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}} = \frac{1}{2\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}}=\frac{1}{2||x||_2}
$$
c-2. 计算：
$$
\frac{\partial{g(x)}}{\partial x_i} = \frac{\partial{\sum_{i=1}^n x_i^2}}{\partial x_i}
$$
对于$x_i \in \{x_1,x_2,\cdots, x_n\}$：
$$
\frac{\partial{g(x)}}{\partial x_i} = 2\times x_i
$$
根据c-0，可求得梯度为：
$$
\bigtriangledown f(x) =
\begin{vmatrix}
\frac{2x_1}{2||x||_2}\\
\frac{2x_2}{2||x||_2}\\
\cdots\\
\frac{2x_n}{2||x||_2}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\frac{x_1}{||x||_2}\\
\frac{x_2}{||x||_2}\\
\cdots\\
\frac{x_n}{||x||_2}
\end{vmatrix}
$$
4. 尝试写出函数$u=f(x,y,z)$，其中$x=x(a,b),y=y(a,b),z=z(a,b)$的链式法则。
答：
根据链式法则的一般场景公式：
对于
$$
\frac{\partial{u}}{\partial a} = \frac{\partial{f(x,y,z)}}{\partial a} = \frac{\partial{u}}{\partial x} \frac{\partial{x}}{\partial a} + \frac{\partial{u}}{\partial y} \frac{\partial{y}}{\partial a} +
\frac{\partial{u}}{\partial z} \frac{\partial{z}}{\partial a} \\
\frac{\partial{u}}{\partial b} = \frac{\partial{f(x,y,z)}}{\partial b} = \frac{\partial{u}}{\partial x} \frac{\partial{x}}{\partial b} + \frac{\partial{u}}{\partial y} \frac{\partial{y}}{\partial b} +
\frac{\partial{u}}{\partial z} \frac{\partial{z}}{\partial b} \\
$$