公式9.4.2没有看明白，\pi_{i}(h_{i})是什么意思？
如果我没有理解错的话，这里并不需要任何符号。这一步只是把前面的乘积符号拆开了然后加了个括号而已
我觉得这里讲的就是图9.4.1。我是这样理解：我想要将原来相当复杂的计算方式变成一个递推的顺序计算，那么先定下h_1，那么就是对所有h_1相关的事情相乘然后求和，然后乘以h_1之后的东西，至于为什么可以这么算，应该是因为隐马尔可夫模型（假设约束），也就是图9.4.1。
此处原本的累加符号是【对h1到hT的每一个元素都有k种不同的取值下】，分别计算后面的累乘部分，并对累乘的结果（共k^T个）进行累加。
你标注的红框中，是【先固定了h2到hT的每一个元素的k种不同的取值】，得到k^(T-1)个不同的子状态，然后在不同子状态下，分别单独考虑h1的k个不同取值，并对累乘的结果进行累加。
例子，T=3，k=4，有 AAA AAB AAC AAD ABA ABB ABC ABD ACA… 共4^3=64种情况下的累乘结果需要累加。
现在先对前两个坑位分类为：AA AB AC AD BA BB BC…共4^2=16种情况，然后考虑最后一位的A B C D 4个选项。
数形结合，假设4x4x4魔方的每个小块（共64块）分别是一个累乘运算，原始写法是直接做63次加法，变换后，相当于将魔方切丝成16条，先在丝内各做3次加法（共3*16=48），再把16条丝加起来做15次加法，合计（48+15=63）。
实际只是改变了计算的顺序，因为63次加法中存在大量交叉重复的运算，但在原始写法的顺序中，重复的部分是分散不连贯的，重新调整顺序之后，便于重复利用运算结果，实现动态规划。
为什么bidirectional在对前向预测中会有糟糕的表现，但是困惑度却很低？
应该是FP时disable ‘backward recursion’了。
但觉得梯度链并没有增加，因为双向 是可以并行计算的。慢的原因到底是啥
这里需要考虑h1的所有情况，需要把h1所有情况累加起来，公式没错
- 本质上是以离散状态来考虑的，所以只是将连乘符号展开而已
- 如果变换后也是计算63次，优化在哪？应该是应用了‘不对齐运算即去重’，类似于recursion to loop
- yt
给定所有 x1,x2…xi-1 的情况下 hi的概率是 πi(hi)
给定hi的情况下
所有xi+1,xi+2,…xt同时满足的概率是ρi(hi)
所有xi,xi+1,…xt同时满足的概率是P(xi | hi)ρi(hi)
πi(hi) 乘以 P(xi | hi) 乘以 ρi(hi) 等于P(x1,…,xt, hi)
再对所有hi求和
等于P(x1,…,xt)